Fonksiyon nedir? Fonksiyon grafiklerine genel bir bakış

Merhaba sevgili bilgeyik okurları, bugünkü yazımızda fonksiyonun ne olduğu sorusunu yanıtlayacak ve ardından fonksiyon grafiklerine bir bakış atacağız. 

Fonksiyon nedir?

Klasik anlatımda anlatıldığı gibi; fonksiyon bir makine gibi çalışır. Ona bir şey verirsiniz ve makine, yani fonksiyon da verdiğiniz şeye sizin daha önceden belirlemiş olduğunuz işlemi yapar ve bir sonuç verir. Mesela bir kıyma makinesine benzetebiliriz fonksiyonları, ona et verirseniz o da birkaç işlem yaparak size kıymayı verir. Fonksiyonlar da böyledir, temelde üç adım vardır. Nedir bu adımlar? 

1. Adım: Giriş 
2. Adım: İşlem
3. Adım: Çıkış

Fonksiyonlar gösterilirken genel "f" harfi kullanılır, bunun sebebi "Fonksiyon" kelimesinin İngilizcesinin "Function" olmasıdır. Ama sizler arzu ettiğiniz herhangi bir harfi kullanabilirsiniz. Şimdi örnek bir fonksiyon oluşturalım. 

f(x) = x² 

Yukarıda bir f fonksiyonu oluşturduk. Bu f fonksiyonu kendisine verilen herhangi bir değerin karesini alıyor. Sözel bir ifadeye 3 adımda şöyle dökebiliriz.

1. Bir giriş değeri alınır.
2. Giriş değerinin karesi alınır.
3. Sonuç değeri basılır.

Peki ya biz öyle bir fonksiyon tanımlasak ve bu fonksiyona öyle bir değer versek ki, sonuç değeri olmasa, yani tanımsız olsa? Neler olur? Şöyle ki, bir fonksiyon oluşturduğunuzda bunun tanım ve sonuç kümelerini de belirlersiniz. Burada fonksiyonu tanımsız yapacak değerleri tanım kümesine almazsınız. Yani bu et kıyma makinesine plastik oyuncak atmak gibi bir şey, bizse en baştan tanımlı kümeyi sadece makinenin öğütebileceği şeylerle sınırlandırıyoruz. Örnekle açıklık kazanadıralım:

İlk önce bir f fonksiyonu oluşturalım

f(x) = x + 4 / x - 4

Bu f fonksiyonumuzun işlevlerini 3 adımda sözelleştirelim.

1. Bir giriş değeri alınır.
2. Giriş değerine 4 eklenip, giriş değerinin 4 eksiğine bölünür.
3. Sonuç değeri basılır.

Şimdi biz bu fonksiyona hangi değeri verirsek fonksiyonumuz, yani binevi makinemiz hata verecek, yani tanımsız bir değere ulaşacak? Bu soruyu yanıtlamak için matematikte cevabı tanımsız yapan durumları biliyor olmamız gerek. Bu durumlardan biri şudur ki; eğer bir sayı 0'a bölünüyorsa cevap tanımsızdır. Şimdi bu ipucunu verdikten sonra şunu düşünmenizi istiyorum, biz bu fonksiyona hangi değeri verirsek fonksiyonumuz bir sayıyı 0'a bölmeye çalışacak, yani hata verecektir? Tabi ki cevap 4'tür. Biz bu fonksiyona 4 değerini verdiğimizde, fonksiyon 8 sayısını 0'a bölmeye çalışacak, bu da fonksiyonu tanımsızlığa götürecektir. Dolayısıyla bizler de makinemiz bozulmasın diye, fonksiyonun tanım kümesinden 4'ü çıkarırız, yani bizim yaptığımız binevi kıyma makinesinin kullanım kılavuzuna "Sakın et dışında bir şey atmayın! Aksi taktirde bozulur." yazmak gibi bir şey.

Fonksiyonlar bilgisayar biliminin temeli sayılan "Algoritma"nın da temeli olarak görülebilir. Algoritmalarla fonksiyonların tek farkı algoritmaların biraz daha somut olmasıdır. Aslında işin özüne indiğimizde dışarıdan varmış gibi gözüken bu fark da ortadan kalkacaktır, çünkü bilgisayar bilimi de özünde tamamen sayılar, hatta sadece 0 ve 1'lerdir. [En azından kuantum bilgisayarlar hayatımıza girene kadar.] Algoritma hakkında bilgiye daha önce yazdığım "Aroma motorları nasıl çalışır?" adlı yazının algoritma başlığına tıklayarak ulaşabilirsiniz.

Fonksiyon grafikleri

Bu kısımda ise fonksiyonların grafiklerine bir bakış atacağız. Bunu yapabilmek için öncelikle grafik nedir sorusunu yanıtlamamız gerekiyor. Grafik kelimesinin Türkçedeki karşılığı Çizge'dir. Çizge ise TDK'de şöyle anlatılır; "Bir olayın çeşitli durumlarını göstermeye veya birkaç şey arasında karşılaştırma yapmaya yarayan çizgilerden oluşmuş biçim." Fonksiyon grafikleri de bizim fonksiyonları daha kolay anlamamızı sağlar. 

Matematikte grafikleri çizmek için x ve y kordinat sistemi kullanılır. x ekseni burada tanım kümesindeki elemanları, y ekseni ise görüntü kümesi elemanlarını gösterir. Aşağıda örnek bir x ve y kordinat sistemi görebilirsiniz.

 

 

Yukarıda gördüğünüz temel bir kordinat sistemidir. En başta tanımladığımız x² fonksiyonumuzu aşağıda görebilirsiniz.

 

Veya diğer fonksiyonumuz olan x + 4 / x - 4  'ü de görebilirsiniz.

 

Gördüğünüz üzere, fonksiyon bir yerde kesintiye uğruyor. Fonksiyonun kesintiye uğradığı kısım x eksenindeki 4 noktası, yani fonksiyonumuzu tanımsız yapan değer. Sanki 4'ten küçük olan en büyük sayıya doğru gittikçe fonksiyon eksi sonsuza; 4'ten büyük en küçük sayıya doğru gittiğimizde de artı sonsuza gidiyor gibi değil mi? Evet, öyle. Bu kısımda bu konuyu anlatmak istemiyorum ama buna "Türev nedir? Ne işe yarar?" başlıklı yazımdan ulaşabilirsiniz.

Sevgili bilgeyik okurları, bugün umarım bir şeyler öğrenebilmişizdir, buna bir nebze katkım olduysa ne mutlu bana.