Bu yazıda çoğu insanın anlamakta güçlük çektiği "Türev" konusunu dilim döndüğünce basite indirgeyerek anlatmaya çalışacağım. Bu yazıdan maksimum verim alabilmek için açıkçası hiç değilse Limit konusuna vakıf olmanız çok iyi olurdu. Ancak hiçbir matematik konusuna hakim olmasanız bile yazıdan bir şeyler öğrenerek çıkacağınıza eminim çünkü çok basite indirgeyerek anlatacağım.

İlk önce Limit'i anlamalıyız

Limit en kaba haliyle yaklaşmak demektir. Kült haline gelmiş bir örnek vardır: Bir noktadan başka bir noktaya sürekli aradaki kalan uzaklığın yarısını alacak şekilde giderseniz asla o noktaya varamazsınız. Gittikçe o noktaya yaklaşmış olursunuz. İşte limit de kaba haliyle budur. Biraz daha matematiksel bir örnek vermek istersek şöyle bir örnek verebiliriz.

Fonksiyonlar makine gibidirler, kendisine verilen ifadeye belirtilen işlemi uygular ve ortaya bir sonuç çıkartırlar. 

f(x) = x² olmak üzere bir f fonksiyonu tanımlamış olsaydık, fonksiyonumuzun 2 noktasındaki limiti ne olurdu?

Herhangi bir fonksiyonun bir noktada limitinin var olabilmesi için belirtilen noktanın sağından ve solundan limitlerinin birbirine eşit çıkmaları gerekir. Peki, bir sayının sağdan ve soldan limitleri ne demektir?

Yukarıdaki sayı doğrusunu daha anlaşılır olmak amacıyla koydum. Bir sayının sağdan limiti demek, o sayıdan büyük ama en küçük sayı demektir. Soldan limiti demek ise o sayıdan küçük en büyük sayı demektir.

Aslında böyle bir sayı yoktur çünkü sonsuza kadar uzatabiliriz 2'den büyük veya küçük ama 2'ye en yakın olan sayıyı.

2'nin sağdan ve soldan limitleri tahmin edebileceğiniz gibi:

Soldan>1,9999 gibi bir sayı

Sağdan>2,0001111

gibi bir sayıdır.(Unutmayın, asla öyle bir sayı yoktur! Çünkü sonsuz kere örnek verebiliriz 2'ye en yakın sayılara.)

Verdiğimiz örnek sayı üzerinden devam edersek 2'nin soldan limiti olan sayının karesi(Karesine bakıyoruz çünkü fonksiyonumuzu bu şekilde tanımlamıştık) 4 sayısına yaklaşır. Yaklaşır diyoruz çünkü asla 4 olmaz. Aynı şekilde 2'nin sağdan limiti de 4 sayısına yaklaşır ama yine aynı şekilde asla 4 olmaz.

Fonksiyonumuz 2 noktasında sağdan ve soldan aynı sayıya (4'e) yaklaştığı için; fonksiyonumuzun 2 noktasında limiti vardır ve 4'tür diyebiliriz.

Eğer fonksiyonumuz 2 noktasının sağından ve solundan limitlerini eşit çıkarttığı gibi, 2 notkasında da aynı sonucu verirse, o noktada limitli olmak dışında bir de sürekli olur. Süreklilik ise Türev almak için şarttır.

Niye şarttır? Anlatacağız, ama ilk önce eğim ile başlayalım.

Eğim mi, ne alaka yahu?

Eğimin birden çok tanımı yapılabilir ama en basit haliyle bir doğrunun, parabolün dikliğini veya bir doğrudaki, paraboldeki değişimi belirtir. Zaten bir doğru ne kadar dikse o kadar çok değişim vardır.

Bir rampa çıktığınızı ve hızınızın hep sabit olduğunu düşünün. Yani rampa ne kadar dik olursa olsun siz birim zamanda hep aynı yolu alacaksınız. Rampa eğer çok dik olursa birim zamanda daha çok yukarı gitmiş olursunuz; ne kadar yatay olursa da o kadar çok yatayda yol almış olursunuz. İşte, eğim aslında sizin dikeydeki değişiminizi gösterir. Bu yüzden trigonometrideki tanx ile de tanımalanabiliyor. Yani dikeydeki aldığınız yol/yataydaki aldığınız yol.

Daha matematiksel olarak bilgi vermek gerekirse şunlardan bahsetmek yararlı olacaktır.

Doğrusal bir fonksiyonun eğimi hep sabittir. Hatta fonksiyondaki x ifadesinin katsayısı eğimdir. Bunu çok basit bir örnekle kanıtlayabiliriz.

Mesela h(x)=3x + 5 gibi bir fonksiyonumuz olsun. h fonksiyonumuz bütün reel sayılarda tanımlıdır. 

Şimdi bakalım az önce bahsettiğimiz gibi doğrusal fonksiyonların eğimleri(değişimleri) gerçekten x ifadesinin katsayısı, yani bu fonksiyonda 3 müymüş?

Bunu anlamak için dikeydeki değişim/yataydaki değişim yapmalıyız.

Yataydaki değişim miktarını işlem kolaylığı bakımından 1 olarak alalım. Yani bir ifadeyi ve onun bir fazlası olan sayıyı izleyeceğiz. Bu noktalarda 3 ve 4 olsun. Artık biliyoruz ki yataydaki değişim 1, peki dikeydeki kaç?

h(3) = 14

h(4)=17 olduğuna göre;

eğim = Dikeydeki değişim/ Yataydaki değişim = (17 - 14) / 1 = 3 / 1 = 3

Gördüğünüz gibi, doğrusal fonksiyonlarda eğimin hep sabit olduğunu ve eğimin x'in katsayısındaki sayıya eşit olduğunu gösterdik. Bunu biraz daha oturtmak için belirlediğimiz fonksiyonun grafiğini aşağıya bırakmak istiyorum.

 

Fonksiyonumuzun grafiği tam da yukarıdaki gibidir. Buradan eğimi tespit etmek çok kolaydır, şimdi aşağıya bırakacağım şekilde fark edeceğiniz gibi, dikeydeki değişim / Yataydaki değişim bize 3 sayısını verir. 

 

 

Türev'i şimdi halledebiliriz!

Eğim konusunu da hallettiğimize göre artık Türev'den bahsetmeye başlayabiliriz. Her zamanki gibi soru yoluyla başlamak istiyorum. 

Artık doğrusal fonksiyonlarımızın eğimini veya değişimini nasıl bulabileceğimizi biliyoruz. Peki ya yukarıda oluşturduğumuz f(x) = x² fonksiyonunun eğimini nasıl hesaplayacağız? Grafikler her zaman kolaylık sağlar, isterseniz daha anlaşılır olması amacıyla ben buraya fonksiyonumuzun grafiğini bırakayım.

 

 

Eğer yazıyı buraya kadar iyi okuduysanız ve az biraz matematiğe hakimseniz fonksiyonumuzun her noktadaki eğiminin farklı olduğunu görmüş olmanız gerekmekte. 

Peki biz bir noktadaki eğimi nasıl bulacağız? Burada devreye limit giriyor.

Misal, diyelim ki biz fonksiyonumuzun 2 noktasındaki eğimini bulmak istiyoruz.

Bunun için grafikteki sonsuz küçüklere kadar inmemiz gerekmektedir, sayıları ne kadar küçültürsek eğimin de en yakın hangi sayıya yaklaştığını buluruz. Matematiksel işlemlere geçmeden önce şöyle bir görüntü bırakayım, sanki 2 sayısına doğru yaklaştıkça grafiğimiz daha doğrusal bir grafiğe benziyor. :)

fonksiyonumuzun bir noktasındaki eğimini limit yoluyla yazmak zorundayız, çünkü ancak limitle doğrusal bir ifadeye benziyor, çünkü ancak limitle sonsuz küçüklerin içine girdikçe fonksiyonumuz doğrusal bir hal almaya başlıyor.(Unutmayın, asla doğrusal olamaz!)

Doğrusal olmayan grafiklerin belirli noktalarındaki eğimleri hesaplanırken limit kullanılır, Türev ise limitlerden çıkan sonuçlara göre oluşturulan pratikler diyebiliriz. x'in türevinin x'in başkatsayısının, x²'nin türevinin 2x olması gibi, bunlar kuraldır ama birilerinin uydurdukları şeyler değil; limitlere göre eğimler hesaplandığında ortaya çıkan sonuçlardır, bir nevi pratik de diyebiliriz.

Aslında bundan sonraki basamaklarda  buraları matematiksel işlemlerle doldurmam gerekiyor ancak ben bunu yapmak istemiyorum. Bu yazıda herkesin hakkında çok şey duyduğu türevin ne işe yaradığını anlatmak istedim ve kaldığım yerden biraz daha mantık yüklemesi yaparak devam etmek istiyorum. :)

Eğimi her noktasında değişkenlik gösteren ifadelerin türevini almak demek, onun belirli bir noktadaki eğimini verecek ifadeyi bulmak demektir. Doğrusal fonksiyonların eğimleri her noktada sabit olduğu için türevleri de sabittir. Bu yüzden biliriz ki birinci dereceden bir x ifadesinin türevi başındaki katsayıdır. 

Zamana bağlı yol denklemini bildiğimiz bir hareketlinin zamana bağlı yol denkleminin türevini aldığımızda zamana bağlı bir şekilde hızını veren ifadeyi elde ederiz. Hızını veren ifadenin türevini aldığımızda yine zaman bağlı bir şekilde istediğimiz noktadaki ivmesini veren ifadeyi elde ederiz.

Örnek vermemiz gerekirse;

t = Zaman(Saniye)

Yol = S

Hız = V

İvme = a 

olmak üzere; 

S = t² + 5t + 3 

ise;

V = 2t + 5

a = 2

Yukarıda denklemlerini verdiğimiz hareketli ivmeli(Hızı değişken) hareket yapmaktadır ve ilk anda, yani 0'ıncı saniyede "3" konumundadır diyebiliriz.

Aslında gerçek hayatımızda çoğu zaman doğrusal ifadelerle karşılaşmayız, bu yüzden mühendislik ve bilim çalışmalarında türev-limit gibi konular hayatidir. Düşünün, uzaya fırlattığınız uzay aracının hangi anda hangi hızda olduğunu veya hangi anda hangi konumda olduğunu bilmek istediğinizi...

Bunu bilebilirsiniz, bu imkansız değildir ama bütün değişkenleri ölçebilen ve bunları denklemleştirebildiğiniz bir fonksiyona ihtiyacınız vardır. Mesela bazı değişkenlerden bahsedelim:

• Bulunduğunuz anda sisteme etki eden sürtünme kuvvetlerinin büyüklüğü ve yönü,
• Bulunduğunuz anda sistemin ağırlığı(yakıt azalmasına bağlı olarak kütle değişecektir)
• Bulunduğunuz anda sisteme etki eden kütle çekim kuvvetleri
• Bulunduğunuz anda motorun gücü, verimi

vs gibi uzatabiliriz. İşte tüm bunları veya sistemde küçük farklılıklar oluşturacak olanlar dışındakileri denkleme yazmış olmanız gerekmektedir. Bunları yazdıktan sonra da herhangi bir andaki hızına veya ivmesine "çok değişkenli türev"(Üniversite kısmı) yoluyla ulaşabilirsiniz. Tabi ki bunlar ne işimize yarayacak, bir tane gps takalım olsun bitsin diyebilirsiniz :) Ancak unutmayın ki uzay aracı fırlatılmadan önce bunları hesaplamak hayatidir, emin olun bunları hesaplamadan uzaya gitmek istemezsiniz, en azından bir kere olsun uzun yolculuklarda yakıt hesabı yapılan sohbetlere denk gelmişsinizdir, 500 km. için yakıt hesabı yapılmasında sorun görmüyorsanız uzaya giden araç için de yapılan hesaplamalarda sorun görmemelisiniz.

Bilimle kalın, görüşmek üzere!