Loading

Çok değişkenli fonksiyonlar; grafikleri ve optimizasyon teknikleri - 1

Bu yazı iki parçalı bir yazı serisinin ilk yazısıdır. Bu yazı kapsamında çok değişkenli fonksiyonlardan ve onların grafiklerinden bahsedilmiştir.

matematik wallpaperi

İlkokulda sayılarla tanışırız ve ardından uzun yıllar çıkmamak üzere “X” girer hayatımıza. Yıllar geçtikçe ve soyut düşünme yeteneği arttıkça  “X”le daha çok uğraşırız, öyle ki, “Y” ekleniverir, “X2” ve “Y2” ler gelir. Gittikçe daha da zorlaşır işler, “X3” ve “Y3”ler görebiliriz. Sonunda, eğer bir sayısalcıysanız ve üniversite tercihinizi ona göre yapmışsanız, kaçınılmazdır Calculus dersiyle tanışmamak.

Bugün, Calculus dersinin küçük bir içeriği hakkında konuşuyor olacağız. İlk önce çok değişkenli fonksiyonlar ve onların grafiklerinden ardından da ikinci yazıda bu fonksiyonların üzerinde türevden ve optimizasyon tekniklerinden bahsedeceğiz.

Çok Değişkenli Fonksiyonlar

Doğadaki her olayın bir sebebi vardır ve eğer şartlar uygunsa (Deney, gözlem vb.) bu olay fonksiyonlaştırılabilir. Bu fonksiyonlar genellikle birden fazla değişkenlere bağlıdır. Örneğin, basket potasına atmaya çalıştığınız basketbol topunun hangi anda hangi konumda ve ne niteliklerle bulunacağı; topa uyguladığınız kuvvete (Büyüklüğü ve yönü), topun kuvvet uygulanan kısmına, hava sürtünmesine ve yerçekimi ivmesine ve bu hava sürtünmesi ortamın sıcaklığına, hangi maddeden ne oranda barındırdığına, yerçekimi ivmesi ise, bulunduğunuz yere ve gezegene gibi birçok değişkene bağlıdır. Bu basit örnekten de görülülebileceği gibi, doğadaki hiçbir olay tek bir değişkenle ifade edilemez, zaten bu yüzdendir ki, temel doğa bilimi olan fizikte tek değişkenli bir fonksiyon gör(e)meyiz.

Çok değişkenli bir fonksiyon (ne olduğunu bilmeyenler buraya!), n tane değişkeni girdi olarak alan ve bu değişkenlerden bir sonuç üreten fonksiyonlardır. Grafikler, fonksiyonları ve onların davranışlarını anlamanın en kolay ve hızlı yoludur. Alışık olduğumuz tek bilinmeyenli fonksiyonların grafikleri x ve y kordinat düzleminde çizilir. Ancak bu sefer elimizde birden fazla değişken var, öyleyse birden fazla eksene ihtiyacımız var.

Tek değişkenli fonksiyonların grafiklerini kağıt üzerinde elle çizmek kolaydır ancak çok değişkenli fonksiyonların elle kağıt üzerinde çizimi zordur (iki değişkenden daha fazla değişkene bağlı fonksiyonların grafiklerinin kağıt üzerinde çizimi imkansızdır) ve genellikle bilgisayar teknolojileri tercih edilir.

İki değişkenli fonksiyonların grafiklerini çizebilmek için, işin kolaylaştırılması adına bazı teknikler vardır. Biz sabit değerlerden yararlanacağız.  (Level surfaces, make a reference) Peki, nedir bu sabit değerler? Farz edelim ki elimizde f(x,y) = 3x+y şeklinde bir fonksiyon var ve biz bu fonksiyonun sonucunun 5 olduğu yerleri bilmek istiyoruz. Bu yer bir level surface idir.

Yukarıdaki fotoğrafta tabandaki x ve y input değerlerine göre sabit z değerlerini veren bölgeler çizilerek fonksiyonun grafiği oluşturulmuştur. Matematiksel olarak tüm level surfacelerinin ifade edilmesi F(x,y,z) = c şeklindedir.

Level surfacelarıyla elde edilen bilgiler birleştirilerek, contour map adı verilen bir çizim ortaya çıkarılır.

Yukarıdaki fotoğraf f(x,y) = x2 + 3y2 fonksiyonun contour mapidir. Peki, bu nasıl elde edildi? Yukarıda belirtildiği gibi, ilk önce işin içine c (sabitliği temsil eder, constant kelimesinden gelir.) değişkenini işin içine katalım.

f(x,y) = x2 + 3y2 = c

Ardından basit bir cebirsel müdahale ile (her tarafı c’ye bölerek) şu ifadeye ulaşılır,

Ardından bu ifadeyi elipsin genel formuna dönüştürmek için x ve y’deki karelerden de yararlanarak şöyle bir müdahalede daha bulunabiliriz,

Son olarak yukarıda elde ettiğimiz ifade merkezi (0,0) noktasında bulunan ve semi-minor axisleri  e   olan bir elipsi tanımlar. Onun grafiği ise yukarıda ilk başta verilen contour mapdir.

 

Bu fotoğraf yine bir değişken sabit tutularak ve diğer değişkenlerin nasıl davrandıkları incelenerek elde edilmiş bir çizimi göstermektedir. Dikkatli incelerseniz, 1 diğer sabit tutulurken diğer değerlerin davranışı incelenerek farklı eksenlerden yapılan çizimlerin farklı şekillerde adlandırıldıklarını görebilirsiniz.

Yararlanılan Kaynaklar

Thomas' calculus, Thomas G., Twelfth edition, pearson education

Ferrantetutoring, Ferrante S., 2021,Multivariable Differentiation- Function of Several Variables 

 

 

Emircan Tepe
Redaktör / 46 Yazı / 561,7K Okunma

Okurum, düşünürüm, sorarım, tartışırım, eleştiririm, yazarım, paylaşırım, otoriteyi sevmem, o da beni sevmez zaten... 


Yorum Yap

E-Posta adresiniz yayınlanmayacaktır.

ya da üye olmadan yorum yap ve onaylanmasını bekle.
ÜST